Lemniscatas y clotoides

¿Qué tiene de especial la curva que se muestra en la imagen que inferior, perteneciente a la actual carretera N-630a, cerca de Fresnedoso (Salamanca)? Quien la conozca podrá destacar la existencia en el margen exterior de una curiosa fuente, llamada del Cántaro por tener uno en su diseño, del que cae el agua. También destacará su pequeño radio de curvatura, añoranza de épocas en las que la velocidad no era tan alta… Pero hay algo más, el trazado original de esa curva es probable que sea el primero que se proyectó y construyó en España buscando una transición cómoda entre una alineación recta y la siguiente. En concreto, la curva original no era circular, sino que se trazó adrede siguiendo una lemniscata de Bernouilli.

El proyecto de una variante de las curvas cerradísimas que existían en el puerto de la Vallejera (entonces en el kilómetro 64 de la carretera de Salamanca a Cáceres) fue redactado en 1927 por el ingeniero de caminos de la Jefatura de Obras Públicas de Salamanca, B. Oliver y Román, todo un pionero en el establecimiento de curvas de transición en las carreteras. Las obras de la citada variante se ejecutaron en 1930. En la figura siguiente, perteneciente a un artículo redactado por el citado ingeniero y publicado en la Revista de Obras Públicas en 1934, se puede observar el trazado completo de la variante y de la primitiva carretera con sus zigzags. Por su parte, en el mapa de la primera edición del Instituto Geográfico Nacional se recoge la variante y el antiguo trazado, ya abandonado entonces.

Como ya se ha adelantado, lo especial de esta variante fue la disposición de lemniscatas en las curvas, en lugar de diseñarlas circulares. También destaca el ensanche de la carretera en el tramo de dichas curvas. Por supuesto, fueron también debidamente peraltadas. Bravo por el ingeniero Oliver.

¿Y por qué una lemniscata, en lugar de la sencilla curva circular? Comencemos por el principio.

Las curvas circulares y la fuerza centrífuga

Como es bien conocido y sentido, al tomar una curva se siente una fuerza que empuja hacia el exterior de dicha curva. Es la fuerza centrífuga. La intensidad de esta fuerza depende directamente de la masa del cuerpo y de la velocidad lineal elevada al cuadrado, y es inversamente proporcional al radio de la curva:

Fuerza centrífuga = m * V² / R

¿Qué podemos hacer para disminuir todo lo que se pueda esa fuerza y evitar que salgamos despedidos, o al menos no tener tantas molestias al tomar cada curva? Tradicionalmente se han adoptado tres medidas: disminuir la velocidad (es un factor muy importante, pues está elevada al cuadrado en la fórmula), aumentar el radio de la curva y aprovechar la fuerza de la gravedad para contrarrestar esta molesta fuerza centrífuga, peraltando debidamente la curva.

Una cuestión de velocidad

Las curvas de las primeras carreteras fueron circulares, o al menos intentaron los ingenieros que así fuera. Hasta la aparición del automóvil competitivo, ya en el siglo XX, no importó nunca que la carretera tuviera curvas de pequeño radio. Lo importante era limitar las pendientes, y no solo por el incremento de esfuerzo que los animales debían sufrir cuando ascendían la cuesta, sino por la inseguridad y el semejante esfuerzo para frenar el carro que se sufrían en los descensos. Nos encontramos con carreteras que recorrían las laderas de los puertos de montaña mediante sucesivas curvas de pequeño radio. No importaba.

Según Pardo (1892), la velocidad de un animal podía oscilar entre 1,5 y 6,5 km/h marchando al paso, de 7,2 km/h a 18 km/h marchando al trote y de unos 55 km/h yendo al galope. En este último caso el aguante del animal era de poco más de media hora.

Ahora bien, para el transporte de mercancías se marchaba siempre al paso. En este último caso, un caballo con carga proporcionada y velocidad de unos 3,5 km/h podía trabajar hasta diez horas diarias intercalando uno o dos descansos. Eran las famosas siete leguas diarias. Emil Adolf Rossmässler se desesperaba así en 1853: “todavía no estaba hispanizado por completo; para ellos es necesario viajar en tartana a la velocidad de paso, sin poder ir más rápido…”

La velocidad de las diligencias oscilaba entre 8 y 12 km/h. En estos casos, el trabajo de los caballos se limitaba a dos periodos de 1,5 h cada día, separados por reposos prolongados.

Teniendo en cuenta estas velocidades, los ingenieros del siglo XIX se preocuparon más, al diseñar las carreteras, del desigual esfuerzo que los animales sufrían al tomar una curva o de las dificultades de entonces para replantear las curvas circulares. Surgieron los primeros radios mínimos, nada del otro mundo.

Mauricio Garrán, en 1862 (“Tratado de la formación de los proyectos de carreteras”), describió claramente el trabajo de los animales de tiro y dio un toque ingenieril al fenómeno: cuando el tiro entra en una curva los esfuerzos de cada caballería “actúan oblicuamente a las otras, y por lo mismo se descompondrán en dos fuerzas, una que se empleará en efecto útil, y la otra perjudicial, porque exigirá que cada animal emplee un cierto esfuerzo en destruir esta acción que tiende a separarle continuamente de la dirección que en cada momento lleva, acción que será tanto más intensa cuanto mayor sea la curvatura de la curva y cuanta más longitud o más numeroso sea el tiro”. La conclusión fue que debía exigirse un radio mínimo de 25 metros en las curvas que se diseñaran, y que si el radio de la curva alcanzaba los 50 m el efecto negativo para las caballerías era ya casi nulo. Pardo estimaba en 1892 que el radio mínimo debería ser de 30 m en casos extremos y de 50 m con carácter general, para evitar los perjuicios de la fuerza centrífuga.

Ninguno de los ingenieros del siglo XIX que publicaron tratados sobre carreteras propuso la formación de peraltes en las curvas. No obstante, es curioso que ya en 1855 el ingeniero Espinosa hablaba de que se podía sustituir el arco circular en una curva por una parábola y explicaba cómo replantearla. No obstante, no llegó más lejos. Pardo (1892) trató a la curva parabólica como algo que ya se había puesto en práctica en alguna ocasión.

El ferrocarril, pionero

La escasa velocidad no era el caso del ferrocarril en el siglo XIX. Su velocidad, de 30 a 35 km… ¡por hora! resultaba algo maravilloso para nuestros tatarabuelos. En una hora, sentados y con la carga que quisieran llevar, efectuaban el recorrido de todo un día por los caminos y carreteras de la época.

Fue en este novedoso medio de transporte donde se sufrió, por primera vez, el problema de la fuerza centrífuga en las curvas. Como en el caso de las carreteras, la primera medida adoptada fue ampliar los radios de las curvas. En 1844 se estableció en España el radio mínimo de unos 280 metros, o mejor dicho, de 1000 pies. En 1855 ya se recomendaba en Europa que el radio mínimo fuera de 500 metros…

En Francia, una comisión creada en 1853 para tratar sobre el problema trató, por primera vez, de las curvas de acuerdo para evitar la sacudida que sufrían los viajeros al pasar bruscamente de una alineación recta a una curva: “Con motivo de hablar de las curvas de pequeño radio debemos llamar la atención sobre la necesidad de renunciar en su trazado al empleo de arcos de círculo. En efecto, cuando se pasa de una alineación recta a un arco de círculo de 60 y aún de 100 metros de radio, el paso repentino de la dirección rectilínea a la curva, produce un sacudimiento incómodo para los viajeros y probablemente perjudicial para el material. Para evitarse este efecto sería necesario unir los alineamientos rectos a las curvas por arcos de parábola tangentes o hacer curvas parabólicas completas, con tal de no exceder del mínimo los radios de curvatura«. Había nacido el concepto de curva de transición, aunque en este caso se proponía que no hubiera tramo central circular.

Después del aumento de los radios, la siguiente medida que surgió fue la adopción del peralte. En un artículo publicado en la Revista de Obras Públicas en 1859, el citado ingeniero P.C. Espinosa ya señalaba la elevación del carril exterior como solución para contrarrestar la fuerza centrífuga. Sobre los peraltes se produjeron diversas publicaciones en la citada revista, como la de Salvador Travado (“Nota sobre la elevación de la barra exterior en las curvas para destruir la acción de la fuerza centrífuga producida por la velocidad de los trenes”, de 1863) o el de José A. Rebolledo (“De la fuerza centrífuga en los ferrocarriles”, de 1863).

La implantación de los peraltes era una buena solución cuando el vehículo circulaba por la curva, pero no evitaba el problema del brusco contraste entre la circulación por la recta y la entrada en el tramo curvo. Además, planteó el problema de cómo conseguir llegar a ese peralte poco a poco, pues en caso contrario, la brusquedad del cambio sería aún mayor. Parecía lógico ir ganando el peralte antes de la curva, en el tramo todavía recto, pero eso también sería molesto… salvo que antes de entrar en la curva circular se diseñara otra curva que fuera poco a poco ganando curvatura hasta llegar a la de la curva circular, y a lo largo de ella fuera creciendo el peralte. Como habían anticipado los franceses en 1853, era necesario disponer una curva de acuerdo.

“La teoría de los acuerdos progresivos de entrada en las curvas de los ferrocarriles, tal como la expuso Nordling el año 1867, está basada en dar al carril exterior de la curva una pendiente uniforme, que termina en la curva circular y corresponde en perfil al acuerdo progresivo en planta, y determinar en cada punto del acuerdo el radio de curvatura con la condición de que la resultante de la fuerza centrífuga y el peso de los vehículos sea normal al plano de la vía para una velocidad determinada.” Así contaba la historia en 1926 Carlos Laffite en su artículo “Acuerdos progresivos de las curvas de los ferrocarriles”, publicado en la ROP). En ese artículo proponía como la solución más aproximada para conseguir esa transición (y más sencilla de replantear) la parábola cúbica.

No obstante, antes de la entrada del siglo XX, la parábola cúbica tuvo ya competencia. En 1895, el ingeniero de puentes y calzadas Pablo Adam se empeñó en demostrar que la lemniscata de Bernouilli es de aplicación tan sencilla como la parábola cúbica para enlazar tramos rectos y curvos. Ya teníamos dos curvas que podían solucionar el problema. Se trata de dos curvas que tienen la ventaja de que su radio va disminuyendo progresivamente desde un valor infinito (recta) hasta el que tendrá la curva circular. Aunque tienen su complejidad, ambas curvas, y en especial la parábola cúbica, pueden replantearse relativamente bien. Era lo que buscaban los ingenieros del siglo XIX.

Llegan los nuevos tiempos a las carreteras

Los ingenieros ferroviarios habían establecido en el siglo XIX, como se ha dicho, las bases para solucionar el problema de la entrada en las curvas de los vehículos a mayor velocidad que la histórica marcha al paso.

Con el siglo XX llegó el desarrollo de los automóviles, y con ellos el aumento progresivo de la velocidad. Las carreteras del siglo XIX, con pendientes limitadas pero radios relativamente pequeños, ofrecían un serio problema para la circulación de los nuevos dueños de caminos y carreteras.

El problema no tardó en ponerse sobre la mesa. Entre los días 11 y 18 de octubre de 1908 se celebró en París el I Congreso Internacional de la Carretera. En dicho congreso ya se trató sobre las soluciones que habían aplicado los ingenieros ferroviarios: aumento de radios, peraltes y curvas de transición antes de las curvas: “Los radios de las curvas serán lo más grandes posible (50 metros por lo menos); las entradas y salidas de las curvas se empalmarán con las alineaciones rectas por medio de arcos parabólicos”. “Los cambios de dirección podrán elevarse, pero sin exceso, para no crear dificultades a los vehículos ordinarios…”. Se aventuraba una época en la que la convivencia de vehículos circulando a velocidades muy diferentes obligaba a ser cautos, no fuera que el peralte creara un serio problema de estabilidad para los carros que circulaban al paso.

Pasaron los años, y en España el Circuito Nacional de Firmes Especiales fue, a partir de 1926 y como en otras tantas cosas, el gran innovador en la técnica carreteril. Las curvas de buena parte de las actuaciones que llevó a cabo el Circuito se peraltaron, como bien se encargó de publicitar la memoria de 1931. Respecto a si la transición del peralte fue en el tramo recto o si se implantaron curvas de acuerdo no se pronunció la memoria.

Durante esos años, y como ya se ha citado, el ingeniero de la Jefatura de Obras Públicas de Salamanca, B. Oliver y Román, fue un gran defensor y divulgador de la implantación de la lemniscata de Bernouilli en las curvas de carretera, como mostró en varios artículos publicados por él en la Revista de Obras Públicas en 1929 y 1934. Buscaba solucionar el problema de la transición del peralte, pero también que fuera posible replantear la curva con sencillez.

Por esas fechas ya se hablaba de la clotoide, curva de transición en la que el radio de curvatura varía en función de la longitud realmente recorrida. No obstante, su cálculo y replanteo eran muy complicados, razón por la cual este ingeniero defendió con encono la lemniscata y la puso en práctica en alguna de las obras que dirigió.

Realmente, Oliver no planteó añadir dos tramos de lemniscata antes y después de la curva circular. Lo que él defendía era que no hubiera tramo de curva circular, sino que dos tramos simétricos de lemniscata unieran directamente las dos alineaciones rectas contiguas. De este modo consiguió una evolución de la curvatura progresiva, hasta encontrar el mínimo en el punto central de la curva. “Lo expuesto constituye, sin duda alguna, el motivo de que en varios países, en alguno reglamentariamente, se haya sustituido la circunferencia por la lemniscata de Bernouilli para enlazar las alineaciones rectas consecutivas de las carreteras”, decía en 1929.

No solo se limitó a establecer la curva ideal. En la Jefatura de Salamanca, y a falta de otras normas, estableció una serie de criterios de trazado de carreteras que iban desde el establecimiento de la inclinación del peralte en función del radio, de la forma de ganarlo manteniendo fija la rasante del eje de la carretera, de cómo efectuar su transición e incluso del sobreancho que debía darse a las curvas y de la necesidad de disponer de una visibilidad mínima. Y no se limitó a establecer los criterios. Como ya se ha citado, los puso en práctica en la provincia de Salamanca.

La Instrucción de Carreteras de 1939 incluyó la primera norma de Trazado. Incluyó y justificó con todo detalle la introducción de peraltes en las curvas (ahora circulares) y cómo debía ser su desvanecimiento. En las curvas de radio superior a 200 metros no era necesario su ensanche y se propuso que el desvanecimiento del peralte fuera en los tramos rectos colindantes con la curva. Ahora bien, para radios inferiores a 200 m sí que planteó la necesidad de que la carretera, en el interior de la curva, tuviera un sobreancho. La Instrucción definió la forma de replantear ese sobreancho, resultando una curva “semejante a la parábola cúbica”.

El triunfo de la clotoide

La clotoide es una curva cuyo radio de curvatura disminuye de manera inversamente proporcional a la distancia recorrida sobre ella. Teóricamente, es la curva ideal para efectuar la transición entre una recta y una circunferencia. Ahora bien, la sencillez de su fórmula (r * L = constante) esconde un endiablado proceso de cálculo para representarla y replantearla en el terreno.

Teniendo clara la ventaja de esta curva, hubo ingenieros que se esforzaron en encontrar curvas circulares que no se apartaran mucho de la trayectoria clotoidal y la pudieran sustituir, facilitando de este modo el replanteo. Antonio Lleó de la Viña, entonces alumno de la Escuela de Caminos, publicó en 1941 un artículo sobre esta cuestión, llegando a la conclusión de que “la curva circular de transición que se separa menos de la teórica es la de radio doble del de la circular principal”.

“La curva de acuerdo que se adopta es la clotoide”. Así de tajante se mostró la Instrucción 3.1-IC (“Características geométricas. Trazado”) aprobada por Orden de 22 de abril de 1964.

Para establecer el parámetro de cada clotoide (la constante de su sencilla fórmula) la Instrucción se basó en tres premisas: la variación de la aceleración centrífuga por segundo debería estar limitada, la curva de transición debería tener longitud suficiente para poder desvanecer el peralte y además tendría que favorecer la estética del trazado. Estos criterios han llegado hasta nuestros días, así como el de no exigir la curva de acuerdo en casos de radios de curvatura amplios (en la norma de 1964 se excluían las curvas de más de 1.500 m de radio).

A partir de 1964, todas las Normas de Trazado españolas han incluido la clotoide como curva de transición. Lo hizo la Norma de 1976 sobre trazado de autopistas, la Norma 3.1-IC de 1999 (más tajante, al indicar que “se adoptará en todos los casos como curva de transición la clotoide”) y la vigente, de 2016, que también establece la exclusividad de la clotoide como curva de acuerdo horizontal.

El dibujo y el replanteo

Hasta el desarrollo de los modernos sistemas informáticos y topográficos, el dibujo y el replanteo de la clotoide era complicado, pues el desarrollo algebraico de tan sencilla ecuación es complicado.

Pronto surgieron manuales con tablas para el replanteo (quebradero de cabeza de muchos topógrafos clásicos), así como plantillas que permitían su dibujo en los planos, cuando estos se ejecutaban artísticamente a mano. En el museo de Carreteras de Teruel hay una sección dedicada a estas plantillas que tanto facilitaron el trabajo a los ingenieros durante años.

Espirales e infinitos

Se ha hablado mucho en este artículo de clotoides y lemniscatas de Bernouilli. Como suele suceder en el mundo de la geometría, estas curvas esconden bellezas y mitos.

La clotoide es una bella espiral, denominada de Euler o de Cornu. Esto de compartir homenajes no suele ser común, pero en este caso la clotoide tiene dos magníficos padrinos, el físico francés Marie Alfred Cornu (1841-1902) y el extraordinario matemático y también físico Leonhard Euler (1707-1783).

La palabra clotoide está muy extendida en los entornos de la ingeniería. En la vigente norma de Trazado de carreteras (norma 3.1-IC) aparece citada nada menos que 42 veces. Pues bien, sorprendentemente, la palabra clotoide no está incluida en el diccionario de la lengua española. Sorpresa, y gorda. No se merecen esto los grandes Euler y Cornu. Tampoco se lo merece Cloto (o Klothó), la hermana menor de las lúgubres Moirai griegas (las Parcas latinas), que determinaban el destino de dioses y humanos. Cloto significa hilar, y en consecuencia tejía el hilo de la vida. En la geometría (y al aplicarla, también en las carreteras) ha dado nombre a ese hilo que desde la plácida recta conduce a la arriesgada curva.

Por su parte, la lemniscata de Bernouilli es una preciosa curva con forma de un 8 tumbado. La reconocemos fácilmente, pues devino en ser el símbolo del infinito. La curva se define a partir de dos puntos, denominados focos, pero así como la elipse es el lugar geométrico de los puntos cuya suma de distancias a los focos es la misma, la lemniscata de Bernouilli es el lugar geométrico de los puntos cuyo producto de distancias a los focos es constante. Es prima hermana de la elipse, por ello. Otra forma de encontrar la lemniscata es intersecando debidamente un toro con un plano tangente a su ecuador interior (el toro, en este caso, es como el donut, no el astado animal).

Y aún hay más. La lemniscata de Bernouilli y la clotoide comparten protagonismo histórico en carreteras, pero también tuvieron su casual vinculación histórica en relación con los insignes matemáticos que les dan apellido. El Bernouilli que apellida a la lemniscata fue Jakob, matemático suizo (1654-1705), hermano mayor de Johann Bernouilli, de quien fue amigo… Leonhard Euler. De hecho, se cuenta en la biografía de Euler que fue Johann Bernouilli quien convenció al padre de Leonhard Euler de la valía de su hijo para las matemáticas.